Để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng trong một bài toán thực tế (ví dụ: chi phí thấp nhất, lợi nhuận cao nhất), bước đầu tiên quan trọng nhất là gì?

Một công ty có hàm chi phí sản xuất x sản phẩm là C(x) và hàm doanh thu là R(x). Hàm lợi nhuận P(x) được xác định bởi công thức nào?

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 80 mét. Nếu gọi một cạnh có độ dài là x (mét) thì hàm số biểu thị diện tích S(x) của mảnh vườn là:

Cho hàm chi phí sản xuất C(q) = 0.1q² – 20q + 5000. Tại mức sản lượng q₀, chi phí là thấp nhất. Điều này có nghĩa là giá trị C'(q₀) bằng bao nhiêu?

Cho hàm lợi nhuận P(x) = -2x³ + 60x² + 150 (với x là số lượng sản phẩm). Để tìm số sản phẩm cho lợi nhuận tối đa, ta cần giải phương trình nào?

Một vật chuyển động có phương trình quãng đường là s(t) = t³ – 6t² + 9t + 2 (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Vận tốc của vật được tính bằng công thức v(t) = s'(t). Vận tốc của vật tại thời điểm t = 1 giây là:

Một công ty sản xuất hộp giấy không nắp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh x (dm) và chiều cao là h (dm). Biết thể tích hộp là 125 dm³. Hàm số biểu thị diện tích toàn phần (diện tích giấy cần dùng) S(x) là:

[ĐỀ] Đồ thị bên mô tả lợi nhuận P (triệu đồng) của một cửa hàng theo thời gian t (tháng) trong một năm. Lợi nhuận cao nhất đạt được vào khoảng tháng nào? (Gợi ý hình ảnh: Một đồ thị dạng parabol úp xuống, đỉnh của parabol có hoành độ nằm giữa 7 và 8)

Vận tốc của một hạt được cho bởi hàm v(t) = -t² + 10t + 3. Gia tốc của hạt được tính bằng a(t) = v'(t). Gia tốc của hạt tại thời điểm t = 2 là:

Giá bán p (nghìn đồng) của một sản phẩm phụ thuộc vào số lượng bán được q theo công thức p = 150 – q. Hàm doanh thu R(q) được xác định như thế nào?

Một đoạn dây dài 20 cm được uốn thành một hình chữ nhật. Để diện tích hình chữ nhật là lớn nhất, nó phải là hình gì?

Nồng độ một loại thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm t giờ được cho bởi hàm C(t) = 10t / (t² + 4). Tốc độ thay đổi nồng độ thuốc được cho bởi C'(t). Biểu thức của C'(t) là:

Người ta muốn rào một khu đất hình chữ nhật có diện tích 1800 m² và sau đó chia khu đất thành hai lô nhỏ bằng một hàng rào song song với một cạnh. Để chi phí mua vật liệu rào là ít nhất thì tổng độ dài các hàng rào là bao nhiêu mét?

Một vật được ném lên cao theo phương thẳng đứng với phương trình chuyển động s(t) = -5t² + 40t + 3, với t là thời gian (giây) và s là độ cao (mét). Độ cao tối đa mà vật đạt được là:

Một tấm nhôm hình vuông cạnh 18 cm. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp. Để thể tích của hộp là lớn nhất, cạnh của các hình vuông bị cắt phải bằng:

Một nhà sản xuất xác định rằng giá bán của mỗi sản phẩm là p = 100 – 0.2x (USD), với x là số sản phẩm được bán. Chi phí sản xuất là C(x) = 20x + 5000 (USD). Cần bán bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận là tối đa?

Tìm điểm trên đồ thị hàm số y = √x (với x ≥ 0) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến điểm A(2; 0) là ngắn nhất.

Một trang sách cần chứa 300 cm² phần chữ in. Lề trên và lề dưới là 2 cm, lề trái và lề phải là 1.5 cm. Kích thước của trang sách (chiều rộng, chiều cao) phải là bao nhiêu để tốn ít giấy nhất?

Nồng độ oxy hòa tan trong một hồ nước bị ô nhiễm được mô hình hóa bởi hàm số y(t) = 10 – 20t / (t² + 1) (mg/l), với t là thời gian (ngày) sau khi xảy ra sự cố. Nồng độ oxy thấp nhất trong hồ là bao nhiêu?

[ĐỀ] Đồ thị bên mô tả chi phí C(v) (lít/100km) của một chiếc xe khi di chuyển với vận tốc v (km/h). Dựa vào đồ thị, để tiết kiệm nhiên liệu nhất, tài xế nên chạy xe với vận tốc khoảng bao nhiêu?

Một người nông dân có 2400 mét hàng rào và muốn rào một khu đất hình chữ nhật nằm cạnh một con sông thẳng (không cần rào cạnh giáp sông). Diện tích lớn nhất mà người nông dân có thể rào được là:

Một đoạn dây dài 40 cm được cắt thành hai phần. Một phần uốn thành hình vuông, phần còn lại uốn thành hình tròn. Phải cắt đoạn dây như thế nào để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất?

Hiệu suất làm việc của một công nhân H(t) sau t giờ làm việc (kể từ lúc 8h sáng) được cho bởi công thức H(t) = -t³ + 9t² + 12t, với 0 ≤ t ≤ 6. Vào thời điểm nào trong ngày, hiệu suất của người công nhân là cao nhất?

Người ta muốn làm một thùng chứa hình trụ không nắp có thể tích là 100π cm³. Bán kính đáy r của hình trụ phải bằng bao nhiêu để diện tích vật liệu cần dùng là ít nhất?

Một cửa sổ có dạng hình chữ nhật và phía trên là một nửa hình tròn. Chu vi của cửa sổ là 10 mét. Bán kính của nửa hình tròn phải là bao nhiêu để diện tích cửa sổ là lớn nhất (để hứng nhiều ánh sáng nhất)?

Một máy bay bay với vận tốc so với không khí là v. Máy bay bay ngược chiều gió có vận tốc là w. Chi phí nhiên liệu mỗi giờ bay tỉ lệ với lập phương của vận tốc so với không khí, tức là C = kv³ (k là hằng số). Thời gian bay trên quãng đường S là T = S / (v – w). Chi phí tổng cộng cho chuyến bay là F = C * T = kSv³ / (v-w). Để chi phí là thấp nhất, vận tốc v của máy bay phải bằng:

Cho hai nguồn sáng A(0; 4) và B(6; 6). Cần đặt một màn ảnh trên trục hoành tại điểm M(x; 0) sao cho tổng cường độ sáng nhận được từ hai nguồn là lớn nhất. Biết cường độ sáng tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách. Tức là phải tìm x để P = 1/MA² + 1/MB² đạt giá trị lớn nhất. Hoành độ x của M gần giá trị nào nhất?

Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ hai cảng A và B cách nhau 100 hải lý. Tàu từ A đi về hướng Nam với vận tốc 20 hải lý/giờ. Tàu từ B đi về hướng Tây với vận tốc 30 hải lý/giờ. Sau bao lâu thì khoảng cách giữa hai tàu là nhỏ nhất?

Một người muốn làm một bể cá không nắp bằng kính dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 32 m³ và chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá kính làm mặt đáy là 200,000 đồng/m², giá kính làm mặt xung quanh là 150,000 đồng/m². Kích thước của bể (rộng, dài, cao) phải là bao nhiêu để chi phí là thấp nhất?

Một công ty độc quyền sản xuất một mặt hàng với hàm cầu là p = 600 – 2q (p là giá, q là sản lượng). Hàm tổng chi phí là C(q) = 0.5q² + 20q + 500. Chính phủ đánh thuế t đồng trên mỗi sản phẩm bán ra. Công ty sẽ điều chỉnh sản lượng để tối đa hóa lợi nhuận của mình. Chính phủ muốn tìm mức thuế t để thu được nhiều tiền thuế nhất. Mức thuế t đó là bao nhiêu?