Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu đạo hàm của f(x) bằng F(x) với mọi x thuộc K.

Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu đạo hàm của F(x) bằng f(x) với mọi x thuộc K.

Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu đạo hàm của F(x) bằng f(x) với một vài giá trị x thuộc K.

x + C

C (hằng số)

1

x + C

1

C

1 + C

x² + C

(1/2)x² + C

(1/2)x + C

2√x + C

(1/2)√x + C

-1/(2x√x) + C

ln(√x) + C

sin(x) + C

-sin(x) + C

cos(x) + C

-cos(x) + C

tan(x) + C

-tan(x) + C

cot(x) + C

-cot(x) + C

2^x.ln(2) + C

2^x + C

2^x / ln(2) + C

x.2^(x-1) + C

Đạo hàm của một tổng/hiệu.

Đạo hàm của một tích.

Đạo hàm của một thương.

Quy tắc chuỗi (đạo hàm hàm hợp).

G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K vì đạo hàm của G(x) bằng đạo hàm của F(x) cộng C, tức là f(x) + C.

G(x) không phải là một nguyên hàm của f(x) vì có sự xuất hiện của hằng số C.

G(x) cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K vì đạo hàm của hằng số C bằng 0.

G(x) chỉ là một nguyên hàm của f(x) khi C = 0.

Họ nguyên hàm của f(x) là x³.

Họ nguyên hàm của f(x) là ∫3x²dx = x³ + C, với C là hằng số.

Họ nguyên hàm của f(x) là 3x³ + C, với C là hằng số.

Không tồn tại khái niệm họ nguyên hàm, chỉ có một nguyên hàm duy nhất.

Hai nguyên hàm bất kỳ của cùng một hàm số thì bằng nhau.

Hai nguyên hàm bất kỳ của cùng một hàm số có thể sai khác nhau một lượng tùy ý.

Hai nguyên hàm bất kỳ của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số.

Một hàm số chỉ có duy nhất một nguyên hàm.

Chúng là hai đường cong đối xứng nhau qua trục Ox.

Chúng là hai đường cong có thể thu được bằng cách tịnh tiến lẫn nhau theo phương của trục Oy.

Chúng trùng nhau hoàn toàn.

Chúng là hai đường cong không liên quan.

∫(đạo hàm của f(x))dx = (đạo hàm của f(x)) + C

∫f(x)dx = (đạo hàm của f(x)) + C

Đạo hàm của (∫f(x)dx) bằng f(x).

Đạo hàm của (∫f(x)dx) bằng f(x) + C.

∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

∫k.f(x)dx = k.∫f(x)dx (với k là hằng số khác 0)

∫[f(x).g(x)]dx = [∫f(x)dx].[∫g(x)dx]

Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

Vi phân của f(x), bằng (đạo hàm của f(x))dx.

Vi phân của F(x), bằng (đạo hàm của F(x))dx.

Tích phân của f(x).

Đạo hàm của F(x).

f(x) = 4x – cos(x)

f(x) = 4x + cos(x)

f(x) = (2/3)x³ – cos(x)

f(x) = 2x + sin(x)

F(2x) + C

2F(2x) + C

(1/2)F(2x) + C

2F(x) + C

F(x) = (1/3)(x+1)³ + C

F(x) = 2(x+1) + C

F(x) = x³ + x² + x + C

F(x) = (1/3)x³ + x² + x + C

F(x) = e^x + 2x + 2

F(x) = e^x + 2x + 3

F(x) = e^x + 2

F(x) = e^x + 3

tan(x) + 2

tan(x) + 3

-cot(x) + 4

tan(x)

F(x) = ln|x| + 1

F(x) = ln(x) + 2

F(x) = ln|x| + 2

F(x) = -1/x² + 3

v(t) = 12t² + C

v(t) = 6t² + 4

v(t) = 6t² + 10

v(t) = 12

40 m

50 m

20 m

100 m

-cos(x) + C

sin(x) + C

-cos(2x) + C

2sin²(x/2) + C

Vì ln|x| có đạo hàm là 1/x trên cả hai khoảng (-∞, 0) và (0, +∞).

Vì ln(x) chỉ xác định với x > 0, trong khi f(x) còn xác định với x < 0.

Đây chỉ là quy ước để bài toán đơn giản hơn.

Cả A và B đều là những lý do quan trọng.

F(x) = G(x) trên K.

F(x) – G(x) = C (với C là hằng số) trên K.

Đồ thị y = F(x) song song với đồ thị y = G(x).

∫F(x)dx = ∫G(x)dx.

F(x) là hàm đồng biến trên R.

F(x) là hàm nghịch biến trên R.

F(x) là hàm hằng.

F(x) luôn dương trên R.

F(x) là hàm số lẻ.

F(x) là hàm số chẵn.

F(x) là hàm số không chẵn, không lẻ.

Không đủ thông tin để kết luận.

ln(x) là nguyên hàm của f(x) và ln(-x) là nguyên hàm của g(x).

ln|x| là nguyên hàm chung cho cả hai trường hợp.

f(x) có nguyên hàm nhưng g(x) không có nguyên hàm.

Cả A và B đều đúng.