(Dễ – Lý thuyết) Cho hai biến cố A và B. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố phụ thuộc được phát biểu là:

(Trung bình) Một nhà máy có hai phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất 40% tổng số sản phẩm, phân xưởng II sản xuất 60%. Tỷ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 3% và của phân xưởng II là 2%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy để kiểm tra. Xác suất để sản phẩm này không bị lỗi là:

(Trung bình) Vẫn trong bối cảnh của Câu 2, biết rằng sản phẩm lấy ra bị lỗi. Xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là bao nhiêu?

(Dễ) Một hộp chứa 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi không hoàn lại. Biết rằng viên bi thứ nhất lấy ra có màu xanh, xác suất để viên bi thứ hai cũng có màu xanh là:

(Trung bình – Lý thuyết) Trong một sơ đồ hình cây, tích các xác suất trên các nhánh dọc theo một đường đi từ gốc đến một kết quả cuối cùng cho ta:

(Trung bình) Tại một trường đại học, 30% sinh viên tham gia câu lạc bộ thể thao và 25% tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Trong số các sinh viên tham gia câu lạc bộ thể thao, có 40% cũng tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Tính xác suất để một sinh viên được chọn ngẫu nhiên tham gia cả hai loại câu lạc bộ.

(Dễ – Lý thuyết) Cho A và B là hai biến cố độc lập và $P(A) > 0, P(B) > 0$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

(Khó) Có hai hộp bi. Hộp I chứa 3 bi trắng và 7 bi đen. Hộp II chứa 6 bi trắng và 4 bi đen. Gieo một con xúc xắc cân đối, nếu xuất hiện mặt có số chấm là bội của 3 thì chọn một bi từ hộp I, ngược lại thì chọn một bi từ hộp II. Biết rằng bi lấy ra là bi trắng. Xác suất để con xúc xắc đã xuất hiện mặt là bội của 3 là:

(Trung bình) Một lớp có 25 nữ và 20 nam. Xác suất một bạn nữ chọn học tiếng Nhật là 0.6 và xác suất này ở một bạn nam là 0.7. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất bạn đó học tiếng Nhật.

(Dễ) Tung một cặp xúc xắc. Gọi A là biến cố “Tổng số chấm là 7” và B là biến cố “Mặt của xúc xắc thứ nhất là 4”. Tính $P(A|B)$.

(Trung bình) Tỷ lệ người dân có nhóm máu O trong một cộng đồng là 35%. Trong một chiến dịch hiến máu, người ta nhận thấy trong số những người có nhóm máu O, tỷ lệ hiến máu là 20%, còn trong số những người không có nhóm máu O, tỷ lệ này là 10%. Chọn ngẫu nhiên một người trong cộng đồng. Xác suất người đó đã hiến máu là:

(Dễ – Lý thuyết) Công thức $P(A) = P(B)P(A|B) + P(bar{B})P(A|bar{B})$ được gọi là:

(Trung bình) Một chiếc máy tính được kết nối với một thiết bị lưu điện (UPS). Khi có sự cố điện, xác suất UPS bị hỏng là 0,05. Nếu UPS hỏng, xác suất máy tính bị hỏng là 0.2. Nếu UPS không hỏng, xác suất máy tính hỏng là 0.01. Tính xác suất máy tính bị hỏng khi có sự cố điện.

(Trung bình) Một người có hai chiếc ô tô: một chiếc xe A và một chiếc xe B. Xác suất để xe A khởi động được vào buổi sáng là 0.9, và của xe B là 0.8. Người này chọn ngẫu nhiên một chiếc xe để đi làm. Biết rằng chiếc xe đã không khởi động được. Xác suất người đó đã chọn chiếc xe B là:

(Dễ) Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 18 học sinh thích môn bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Biết rằng học sinh thứ nhất được chọn thích bóng đá, xác suất học sinh thứ hai được chọn cũng thích bóng đá là:

(Trung bình) Trong một bài thi, An có xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0.8. Nếu trả lời đúng câu đầu, xác suất An trả lời đúng câu thứ hai là 0.9. Nếu trả lời sai câu đầu, xác suất An trả lời đúng câu thứ hai chỉ là 0.5. Tính xác suất An trả lời đúng câu thứ hai.

(Dễ) Một hộp có 5 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm. Tính xác suất để cả hai sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm.

(Trung bình – Lý thuyết) Công thức Bayes $P(B_i|A) = frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}$ cho phép tính xác suất của “nguyên nhân” $B_i$ khi biết “kết quả” A đã xảy ra. Trong công thức này, $P(B_i|A)$ được gọi là:

(Trung bình) Một túi đựng 5 viên bi được đánh số từ 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 viên bi. Biết rằng tổng hai số ghi trên hai viên bi là một số chẵn. Xác suất cả hai viên bi đều là số lẻ là:

(Trung bình) Một công ty đấu thầu hai dự án A và B độc lập nhau. Xác suất thắng thầu dự án A là 0.6 và dự án B là 0.5. Tính xác suất công ty thắng thầu ít nhất một dự án.

(Khó) Ba xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất, thứ hai, và thứ ba lần lượt là 0.7, 0.8 và 0.9. Biết rằng mục tiêu bị trúng đúng một viên đạn. Xác suất viên đạn đó là của người thứ ba là:

(Dễ) Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện bằng 8, biết rằng hai mặt xuất hiện có số chấm khác nhau.

(Trung bình) Có 3 hộp linh kiện. Hộp I có 10 linh kiện trong đó có 2 linh kiện hỏng. Hộp II có 12 linh kiện trong đó có 3 linh kiện hỏng. Hộp III có 15 linh kiện trong đó có 4 linh kiện hỏng. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ra một linh kiện. Tính xác suất để linh kiện lấy ra bị hỏng.

(Dễ) Cho $P(A) = 0.5, P(B) = 0.4$ và $P(AB) = 0.2$. Tính $P(A|B)$.

(Trung bình) Tỷ lệ mắc một căn bệnh trong cộng đồng là 1%. Một phương pháp xét nghiệm cho kết quả dương tính đối với 95% người mắc bệnh, nhưng cũng cho kết quả dương tính đối với 2% người không mắc bệnh. Nếu một người có kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất người đó thực sự mắc bệnh là: (làm tròn 3 chữ số thập phân)